1 Inledning – Motivet bakom stämningssystemet
Tonika, subdominant och dominant samt parallelltonarter existerar inom musikteorin. Det här säger också vårt gehör. Min teori är att det går att visa att de finns även matematiskt.
Jag har gjort ett stämningssystem. Systemet innefattar tre intonationer beroende på var den kromatiska skalan börjar.
Tonikorna, subdominanterna eller dominanterna kan var och en turvist ha snäva kvinter.
Betraktar vi det här diatoniskt, har subdominanterna (IV och ii) snäva kvinter i C-dur och dess symmetriska släktingar Ess, Fiss, A.
C#-dur-tonarten och dess släktingar har i stället dominanterna (V och iii) snäva.
I tonarter som ligger inom dimackordsförhållande till D-dur är själva tonikan (både dur och moll, dvs I och vi) snäv.
De övriga kvinterna är perfekta. De kvinter som är snäva visar alltså exempel på kända egenskaper i diatoniska harmonier inom västerländsk musikteori.
2 Bakgrund – En upptäcktsresa
Resan fram började med en återupptäckt av ren intonation och Pythagoreisk stämning. I något skede blev jag intresserad av en konstant i form av en tritonus. Jag undrade vilken konstant det var jag räknade ut när decimal efter decimal kom fram. Det var kvadratrötter jag hade återupptäckt. Kvadratroten ur två, närmare bestämt. Resan började alltså med en mängd återupptäckter.
När jag väl var framme vid det här stämningssystemet fick jag en känsla som jag var tungen att bekräfta genom A/B-blindtester: den här metoden att stämma instrument lät mer stämd och mer musikaliskt tilltalande än den standardiserade tempererade intonationen som pianot är stämt efter.
En efterforskning i det mest uttömmande verk som rör intonationer, Barbours "Tuning and Temperaments" samt ett test i verktyget Scala, med vilket jag kunde kontrollera den mot en stor mängd intonationer (över 5000 stycken) från forna tider till i dag, visade det sig att min stämning inte fanns dokumenterad på det här sättet. Det fanns dock en matematiker vid namn Neidhardt som levde mellan 1700- och 1800-talet, som hade 25 stycken förslag på intonatoiner. En av dem liknade min, men koncentrerade sig kring en annan tonart. Den här gången var det alltså inte helt och hållet en återupptäckt från min sida. Man kan säga att jag hade kommit fram till en stämning, som man inte riktigt hittills hade insett. När man spelar den ur de rätta tonarterna låter den tillfredställande för det noggrannaste tonörat.
Genom att formulera den bakomliggande metoden och matematiken kan man analysera systemets uppbyggnad, dess logik samt några av dess fördelar.
3 Formeln och strukturen
Grunden för systemet är en hybrid av tempererad symmetri och harmonisk renhet.
3.1 Formeln
Varje tons frekvens (f) kan härledas från en grundfrekvens (här A=440 Hz) med följande formel:
Där:
- n∈{0,1,2,3} definierar en av fyra symmetriska grundtoner.
- m∈{0,1,2} definierar antalet perfekta kvinter som staplas på grundtonen.
- k är ett heltal som normaliserar tonen till rätt oktav.
3.2 Två komponenter
- Den symmetriska grunden: Systemet vilar på fyra "pelare" (C, D#, F#, A) som är perfekt tempererade – de delar oktaven i fyra exakt lika stora mollterser.
- Den rena överbyggnaden: Från var och en av dessa symmetriska pelare växer de övriga tonerna fram genom användandet av den starkaste harmoniska byggstenen: den perfekt rena kvinten.
3.3 Systemets fingeravtryck (Skalan i cents avrundat till två decimaler)
| Ton | Värde i Cents |
|---|---|
| C | 0.00 |
| C♯/D♭ | 101.96 |
| D | 203.91 |
| D♯/E♭ | 300.00 |
| E | 401.96 |
| F | 503.91 |
| F♯/G♭ | 600.00 |
| G | 701.96 |
| G♯/A♭ | 803.91 |
| A | 900.00 |
| A♯/B♭ | 1001.96 |
| B | 1103.91 |
4 Harmonik – De två familjerna
Alla ackord i systemet kan delas in i två familjer baserat på deras interna konstruktion. De perfekta kvinterna är fler, både kromatiskt och diatoniskt.
Kromatiskt är 8 av 12 kvinter perfekta. Diatoniskt är 4 av 6 kvinter perfekta.
- Familj 1: Byggda med perfekta kvinter (702c). Dessa ackord är till exempel C-dur, G-dur.
- Familj 2: Byggda med snäva kvinter (696c). Dessa ackord är till exempel F-dur, d-moll.
5 Fallstudier i kromatisk harmoni
5.1 Tritonussubstitution
I modern harmonilära kan dominantackordet V7 (G7) bytas ut mot bII7 (Ciss7). Det här systemet gör sambandet akustiskt perfekt. En analys visar att G7 och Ciss7 är exakta spegelbilder av varandra – båda byggda av samma ters, en perfekt kvint och en identisk septima. Systemet "förstår" att dessa två ackord har samma funktion och ger dem därför samma starka inre intonation.
6 Slutsats
Den viktigaste slutsatsen är enligt mig att den mollterstempererade kombinationen med perfekta kvinter känns renare än de vanliga intonationerna när man lyssnar på till exempel en C-durskala.
Med play-knappen längst nere kan du själv lyssna och jämföra den mot de vanligaste intonationerna.
Skillnaden mellan den här intonationen och den tempererade är 3,91 cent. Här kan du testa ditt gehör.
Roger Ojala